В статье «Application Method of Differential Inequalities to Bounding the Rate of Convergence for a Class of Markov Chains» (Применение метода дифференциальных неравенств к оценке скорости сходимости одного класса цепей Маркова), Springer Series in Mathematics & Statistics, vol. 333, P. 95-103, doi:10.1007/978-3-030-56323-3_8 (авторы А. Л. Крюкова, В. С. Ошушкова, А. И. Зейфман, Я. А. Сатин) рассматривается класс марковских систем обслуживания, в котором требования поступают все одновременно и обслуживаются по одному. В этом случае метод логарифмической нормы не позволял получить точную оценку скорости сходимости системы к предельному режиму. Поэтому для получения решения этой задачи авторами предложен альтернативный способ исследования – метод дифференциальных неравенств.
В статье рассмотрена также соответствующая нестационарная модель с 1-периодическими интенсивностями поступления и обработки требований. На основании полученной оценки скорости сходимости вычислены предельные характеристики. Приведен численный пример, который показывает практическую применимость изложенного подхода.
Пример
Марковский процесс $X(t)$, в котором требования поступают все одновременно и обслуживаются по одному. Интенсивность поступления требований в момент времени $t$ обозначена $\lambda(t)$, интенсивность обработки требований $\mu_k(t) = k\mu(t)$, где $1 \leq k \leq S$. Все интенсивности рассматриваемом примере являются периодическими функциями $a (t) = \lambda(t) = 2 + \sin(2\pi t)$ и $\mu_k(t) =k (2+\cos(2\pi t))$.
Для построения вероятностных характеристик модели была написана программа. В программе по умолчанию $S=200$. Программа решает систему дифференциальных уравнений на заданном промежутке с начальными условиями $X(0) = 0$, $X(0) = 200$, строит графики вероятности пустой очереди и математического ожидания числа требований в очереди.