В статье «On Three Methods for Bounding the Rate of Convergence for Some Continuous–Time Markov Chains» (авторы А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, А. Л. Крюкова, Р.В. Разумчик, К.М. Киселева, Г.Н. Шилова) рассматриваются три различных подхода для получения оценок скорости сходимости к предельному режиму для различных неоднородных марковских цепей с непрерывным временем. В частности, такие цепи можно рассматривать как число требований в нестационарной системе обслуживания типа $M^X_n/M^X_n /1$. Первый подход к получению оценок основан на логарифмической норме, второй на функции Ляпунова, и третий на методе неравенств. В статье приведены два численных примера, которые показывают практическую применимость изложенных подходов.
Пример 1
Марковский процесс $X(t)$, описывающий общее число требований в системе $M^X(t)/M(t)/1/S$ с групповым поступлением. Все интенсивности являются периодическими функциями. Поступление одного требования не зависит от числа требований в системе и задается функцией $a_1=1 + \sin 2\pi t$. Интенсивность поступления двух и более требований не зависит от времени и задается формулой $a_k(t) = 2 + \sin 2\pi t + \cos 2\pi t$ при $2 \leq k \leq S$. Интенсивность обслуживания зависит от числа требований в системе $μ_k(t) = m^2 (1+ \cos 2\pi t)$ при $1 \leq k \leq S$ и $m=90$.
В программе по умолчанию $S=199, m=90$ (можно менять). Интенсивности можно изменить.
Программа решает систему дифференциальных уравнений на заданном промежутке с начальным условием $X(0)=0$ и строит графики вероятностей и среднего.
Пример 2
Марковский процесс $X(t)$ описывающий общее число требований в системе $M(t)/M^X(t)/1/S$ с групповым обслуживанием. Все интенсивности являются периодическими функциями. Интенсивность поступления зависит от числа требований в системе $\lambda_k(t) = \lambda(t) =10 (2 + \sin(2\pi t))$.
Групповое обслуживание $S$ требований может произойти с интенсивностью $b_S(t) = m^{−2} (2 + \cos 2\pi t)$ причём только тогда, когда в системе ровно $S$ требований.
В программе по умолчанию $S=40, m=1$ (можно менять). Интенсивности можно изменить.
Программа решает систему дифференциальных уравнений на заданном промежутке с начальным условием $X(0)=0$ и строит графики вероятностей и среднего.