Два подхода к построению оценок устойчивости для нестационарных марковских цепей

В статье «Two Approaches to the Construction of Perturbation Bounds for Continuous-Time Markov Chains» (Два подхода к построению оценок устойчивости для нестационарных марковских цепей), Mathematics 2020, 8, 253; doi:10.3390/math8020253 (авторы А. И. Зейфман, В. Ю. Королев, Я. А. Сатин), рассмотрены два общих подхода для построения оценок устойчивости предельных характеристик неоднородных марковских цепей с непрерывным временем по отношению к возмущениям их инфинитезимальных характеристик. Рассмотрено получение такого рода оценок для процесса, описывающего число требований в системе обслуживания $M(t)^X_n/M(t)^X_n/1$ с возможным групповым поступлением и/или обслуживанием требований, а также системе с катастрофами. В качестве примеров изучены конкретные модели типа $M_t/M_t/N/N$  и $M_t^X/M_t/2$, причем во второй модели предполагается, что требования поступают не более чем по два одновременно.

Программа для построения вероятностных характеристик моделей типа $M_t/M_t/N/N$ и изучения их устойчивости в основном совпадает с рассмотренной в статье «Об оценках скорости сходимости для некоторых моделей массового обслуживания с неполно заданными интенсивностями», Информатика и ее применения. 2019. Т. 13. № 3, 14-19 (авторы А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, К. М. Киселева), поэтому здесь она не приводится.

Ниже представлен ролик, показывающий работу программы, вычисляющей предельные характеристики и оценки возмущений для системы $M_t^X/M_t/2$. При этом пользователь может задавать следующие параметры системы:

• максимальное число требований в системе $n$; поскольку пространство состояний счетно, это число определяет размерность усеченного процесса, в прилагаемом ролике для более быстрых  вычислений оно взято небольшим;
• интенсивности поступления и обслуживания требований;
• состояния, вероятности которых надо построить;
• интервал $[0,\,t]$, на котором необходимо строить решение прямой системы Колмогорова, оценив его предварительно или исходя из каких-то других соображений;
• ширину «полоски устойчивости», оценив её предварительно или исходя из каких-то других соображений.